算法

双线程动态规划之传纸条

       最近在做天梯的时候，遇到了传纸条题目，一时想不出来，于是在网上百度了一下解题的方法，依然是动态规划，但是采用的是双线程的动态规划，感觉有点新鲜，于是记录了下来！
题目是这样子的：

       小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

       在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

       还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入描述 Input Description

       输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。

       接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出描述 Output Description

       输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入 Sample Input

3 3

0 3 9

2 8 5

5 7 0

样例输出 Sample Output

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双线程DP的思想：

       dp[k,x1,y1,x2,y2]表示第k步第一个纸条在(x1,y1)时和第二个纸条在(x2,y2)时的最优解…当然要保证x1!=x2&&y1!=y2 ,则它的上一步可能有四种情况：

  • 第一个纸条的位置在（x1, y1-1）, 第二纸条的位置为(x2, y2-1)，此时的状态为dp[k-1][x1][y1-1][x2][y2-1]

  • 第一个纸条的位置在（x1, y1-1）, 第二纸条的位置为(x2-1, y2)，此时的状态为dp[k-1][x1][y1-1][x2-1][y2]

  • 第一个纸条的位置在（x1-1, y1）, 第二纸条的位置为(x2, y2-1)，此时的状态为dp[k-1][x1-1][y1][x2][y2-1]

  • 第一个纸条的位置在（x1-1, y1）, 第二纸条的位置为(x2-1, y2)，此时的状态为dp[k-1][x1-1][y1][x2-1][y2])



    • 状态转移方程为：

    1
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    6
    7
    dp[k][x1][y1][x2][y2]=max(
                              dp[k-1][x1][y1-1][x2][y2-1],
                              dp[k-1][x1][y1-1][x2-1][y2],
                              dp[k-1][x1-1][y1][x2][y2-1],
                              dp[k-1][x1-1][y1][x2-1][y2]
                              )
                          +map[x1][y1]+map[x2][y2];

    但是上面的复杂度太高，但通过观察发现可以用三维数组来表示,因为每次只能向下或者向右。前一步（x1,y1） 向下：(x1+1，y1), 向右（x1,y1+1），前一步（x2,y2） 向下：(x2+1，y2), 向右（x2,y2+1）注意到没有？行标列标和相等！！！

    1
    2
    k=x1+y1;
    k=x2+y2;

    所以y1,y2就可以用k-x1,k-x2代替，顺利降为 三维；

    上面状态转移方程可以换为：

    1
    2
    3
    4
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    6
    7
    dp[k][x1][x2] = max(
                        dp[k-1][x1][x2],
                        dp[k-1][x1][x2-1],
                        dp[k-1][x1-1][x2],
                        dp[k-1][x1-1][x2-1]
                       )
                    + map[i][k-i] + map[j][k-j];

    dp[k][x1][x2]来表示第k步第一个纸条和第二个纸条横坐标分别在x1和x2时的最优解,只需要保证x1!=x2即可;

    x1==x2时dp[k][x1][x2]==0…

           K表示map的第几条斜线 一共有m+n-1条斜线，在这个题中 第一和最后一条斜线不参与，因为两对角的好心度 定义为0；而在探寻宝藏这题中，两对角也有价值，所以需要加上两对角的值.

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    44
    #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    #define N 52
     int dp[105][N][N],map[N][N];
     int main()
     {
    	 int test;
    	 cin>>test;
    	 while(test--)
    	 {
    		 int m,n;
    		 cin>>m>>n;
    		 int i,j;
    		 for(i=1;i<=m;++i)
    			 for(j=1;j<=n;++j)
    				 cin>>map[i][j];

    		 memset(dp,0,sizeof(dp));
    		 int all=m+n;
    		 int k,t1=0,t2=0,ans=0;
    		 int x1,y1,x2,y2;

    		 //dp[2][1][1]=map[1][1];
    		 for(k=2;k<=all;++k)
    			 for(x1=1;x1<=m;++x1)
    				 for(x2=1;x2<=m;++x2)
    				{
    					y1=k-x1;
    					y2=k-x2;
    					if(y1<0||y2<0||y1>n||y2>n)
    						continue;
    					if(y1==y2)
    						continue;

    					t1=max(dp[k-1][x1-1][x2],dp[k-1][x1-1][x2-1]);
    					t2=max(dp[k-1][x1][x2],dp[k-1][x1][x2-1]);
    					dp[k][x1][x2]=max(t1,t2)+ map[x1][y1] + map[x2][y2];
    				 }
    		cout<<dp[all-1][m][m-1]<<endl;
    	 }
    	 return 0;
     }

    以上内容大部分来自别人的CSDN博客，因为觉得写的很不错，所以就记录了下来，如果想看原创，请点击这里